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抽象的な議論が嫌いな人は苦手かもしれないけど、
代数学って面白いんですよ。
名前はちょっと恐そう、とっつきにくそうだな~、って思うかもしれないけど、
最初の方は簡単だし(僕がまだ初歩しかわかってないんだけど・笑)、証明だってクイズみたいな面白さ。

例えば、単位元、というものを設定します。
掛け算でいうところの1。
なんだけど、もうちょっとしっかり記述すると

どんな数とかけても値が変わらない

という性質を持ったもののことね。


・じゃあ演算を足し算で考えると、単位元は何になるでしょうか!?


どんな数と足し合わせても値が変わらない

ものだから~・・・?


そうですね。0です。


ここで、もっと抽象性を高くすると、
足し算や掛け算などの演算一般を『・』という記号で表されるものとし、
単位元を『e』と置きましょう、と。

たとえば足し算として演算を考えると、
2・3=5
掛け算として考えると
2・3=6
という具合。

そして、どんな数でも取りうるものを記号で x とすると、
x ・ e = x
ってなるんだけど、これはわかる?
たとえばxを2、・を足し算とすると、上の式は
2+0=2
を表しています。
因みに、この単位元っていうのは可換で、
x ・e = e ・ x
が成り立つんだけど、右からと左からの計算の違いで結果が変わる、という方が特殊に思える人が多いと思うので、
ここでは常にそういうことが成り立つわけではない(一般に可換ではない)、というのを少し頭に入れておいてくれればいいや。


さて、ここで問題。単位元は一つしか存在しません。それを証明しなさい。



解答;
 まず、単位元がもう一つ存在するとした場合を考えよう。
 e以外のもう一つの単位元をここではfとする。
 eは単位元だから、e ・ x = x ・ e = x
 xはどんな値を入れてもいいから、fを代入すると、
 e ・ f = f ・ e = f ―①

 同様に、f ・ x = x ・ f = xのxにeを代入できて、
 f ・ e = e ・ f = e ―②
 
 さて、この二つの式を見比べてみよう。
 e ・ f = f ・ e はfであり、eでもある。
 ということは、f = f ・ e = e ・ f = e
 ⇒ f = e

 つまり、どんな単位元をとっても、それは全部eと同じものである。
 だから、e以外の単位元は存在しない、というか性質上区別がないので不要。
 証明終了(Q.E.D.)!


さて、どうでしたか?わかりました?
わけわからん、って人も分かったけどつまらん、って人もいるでしょう。
僕の書き方もあまりよくないので、分からなかった人も多いのかもしれませんが、
もし、面白かった、興味を持った、という人がいたなら、是非、自分で調べて探求してみて下さい。
きっともっともっと、これとは比べ物にならないほど面白くて、きれいですよ。

そして数学的に厳密な進め方をしていないので、穴や違和感を感じる人もいるかもしれませんが、
そういう人はきっと素養か才能がある人でしょう。
向いているかもしれません。

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